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几何原本简介原本定义是什么样的

发布时间:2020-12-25 04:47:29 阅读: 来源:保温材料设备厂家

几何原本简介 原本定义是什么样的

《几何原本》(希腊语:Στοιχεῖα)又称《原本》。是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作。它是欧洲数学的基础,总结了平面几何五大公设,被广泛的认为是历史上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品。欧几里得使用了公理化的方法。这一方法后来成了建立任何知识体系的典范,在差不多二千年间,被奉为必须遵守的严密思维的范例。这本著作是欧几里得几何的基础,在西方是仅次于《圣经》而流传最广的书籍。

原本介绍

《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作。并把人们公认的一些事实列成定义和公理,以形式逻辑的方法,用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质,从而建立了一套从公理、定义出发,论证命题得到定理的几何学论证方法,形成了一个严密的逻辑体系——几何学。而这本书,也就成了欧式几何的奠基之作。

这部书已经基本囊括了几何学从公元前7世纪的古埃及,一直到公元前4世纪——欧几里得生活时期——前后总共400多年的数学发展历史。它不仅保存了许多古希腊早期的几何学理论,而且通过欧几里得开创性的系统整理和完整阐述,使这些远古的数学思想发扬光大。

它开创了古典数论的研究,在一系列公理、定义、公设的基础上,创立了欧几里得几何学体系,成为用公理化方法建立起来的数学演绎体系的最早典范。

欧几里得所著的《原本》大约成书于公元前300年,原书早已失传。全书共分13卷。书中包含了5个“公设(Axioms)”、5条“一般性概念(Common Notions)”、23个定义(Definitions)和48个命题(Propositions)。在每一卷内容当中,欧几里得都采用了与前人完全不同的叙述方式,即先提出公理、公设和定义,然后再由简到繁地证明它们。这使得全书的论述更加紧凑和明快。

而在整部书的内容安排上,也同样贯彻了他的这种独具匠心的安排。它由浅到深,从简至繁,先后论述了直边形、圆、比例论、相似形、数、立体几何以及穷竭法等内容。其中有关穷竭法的讨论,成为近代微积分思想的来源。

照欧氏几何学的体系,所有的定理都是从一些确定的、不需证明而礴然为真的基本命题即公理演绎出来的。在这种演绎推理中,对定理的每个证明必须或者以公理为前提,或者以先前就已被证明了的定理为前提,最后做出结论。对后世产生了深远的影响。它标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。

两千多年来,《几何原本》一直是学习数学几何部分的主要教材。哥白尼、伽利略、笛卡尔、牛顿等许多伟大的学者都曾学习过《几何原本》,从中吸取了丰富的营养,从而作出了许多伟大的成就。

1582年,来自意大利的天主教神父利玛窦到中国传教,带来了15卷本的《原本》。1600年,明代数学家徐光启(1562-1633)与利玛窦相识后,便经常来往。1607年,他们把该书的前6卷平面几何部分合译成中文,并改名为《几何原本》。后9卷是1857年由中国清代数学家李善兰(1811-1882)和英国人伟烈亚力译完的。

原本定义

注:《几何原本》中有“公设”与“公理”之分,近代数学对此不再区分,都称“公理”。

定义

23条

点是没有部分的

线只有长度而没有宽度

一线的两端是点

直线是它上面的点一样地平放着的线

面只有长度和宽度

面的边缘是线

平面是它上面的线一样地平放着的面

平面角是在一平面内但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度

当包含角的两条线都是直线时,这个角叫做直线角

当一条直线和另一条直线交成邻角彼此相等时,这些角的每一个叫做直角,而且称这一条直线垂直于另一条直线。

大于直角的角叫钝角

小于直角的角叫锐角

边界是物体的边缘

图形是一个边界或者几个边界所围成的

圆:由一条线包围着的平面图形,其内有一点与这条线上任何一个点所连成的线段都相等

这个点(指定义15中提到的那个点)叫做圆心。

圆的直径是任意一条经过圆心的直线在两个方向被圆截得的线段,且把圆二等分

半圆是直径与被它切割的圆弧所围成的图形,半圆的圆心与原圆心相同(接17)

直线形是由线段围成的,三边形是由三条线段围成的,四边形是由四条线围成的,多边形是由四条以上线段围成的

在三边形中,三条边相等的,叫做等边三角形;只有两条边相等的,叫做等腰三角形;各边不等的,叫做不等边三角形

此外,在三边形中,有一角是直角的,叫做直角三角形;有一个角是钝角的,叫做钝角三角形;有三个角是锐角的,叫做锐角三角形

在四边形中,四边相等且四个角是直角的,叫做正方形;角是直角,但四边不全相等的,叫做长方形;四边相等,但角不是直角的,叫做菱形;对角相等且对边相等,但边不全相等且角不是直角的,叫做斜方形;其余的四边形叫做不规则四边形

平行直线是在同一个平面内向两端无限延长不能相交的直线

公理

1.等于同量的量彼此相等;

2.等量加等量,其和相等;

3.等量减等量,其差相等;

4.彼此能完全重合的物体是全等的;

5.整体大于部分。

公设

1.过两点能作且只能作一直线;

2.线段(有限直线)可以无限地延长;

3.以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆;

4.凡是直角都相等;

5.同平面内一条直线和另外两条直线相交,若在直线同侧的两个内角之和小于180°,则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。(近代数学不区分公设,公理,统一称为公理)

——以上选自《几何原本》 第一卷《几何基础》

最后一条公设就是著名的平行公设,或者叫做第五公设。它引发了几何史上最著名的长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论,并最终诞生了非欧几何。值得注意的是,第五公设既不能说是正确也不能说是错误,它所概括的是一种情况。非欧几何则在推翻第五公设的前提下进行了另外情况的讨论。

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